Histoire de l’astronomie : Kepler et le plan de l’orbite de Mars

En général, on retient de l’astronome Kepler (1571-1630) ses trois lois démontrant que

  • les planètes orbitent sur des ellipses autour du Soleil,
  • à des vitesses qui varient selon la distance à notre étoile
  • en des temps qui dépendent mathématiquement de la taille de leur orbite.

Mais l’un des premiers succès de Kepler est « simplement » celui de la détermination du plan de l’orbite de la planète Mars, jusque-là bien mystérieux pour tous les astronomes qui l’ont précédé. Loin de ses grands succès à venir, ce résultat fut produit juste avant la mort de Tycho Brahe (1546-1601).

Comme vous le constatez, nous allons traiter cette fois-ci d’histoire de l’astronomie ! En ce temps-là, presque 60 ans pourtant après la publication de Copernic, l’expression « physique céleste » est encore inimaginable…

Le contexte historique

Le premier livre de Johannes Kepler publié en 1595 (le Mysterium Cosmographicum) est très prometteur, mais surtout à la lumière de ses découvertes à venir. Ses deux premières (et célèbres) lois, par exemple, ne seront énoncées que dans son second ouvrage, l’Astronomia Nova (publié en 1609 mais achevé en 1606). Il est vain de s’interroger sur ce que serait devenu Kepler sans Tycho Brahe et ses résultats d’observation. On ne peut toutefois s’empêcher de penser aux fameuses 8 minutes d’arc qui lui firent reprendre tous ses travaux alors que bien d’autres astronomes se seraient contentés de cette précision déjà très honorable (les observations de Ptolémée étaient précises à 30 minutes d’arc prêt). Ces 8 minutes d’arc sont l’écart qui existait entre une rétrodiction de Kepler pour tester un système qu’il mit au point après la mort de Tycho et l’une des observations qu’enregistra ce dernier de son vivant. Si Dieu avait bien caché des lois mathématiques dans la nature afin que l’esprit curieux et persévérant puisse toujours être nourri de découvertes nouvelles (Kepler est théologien de formation…) alors un tel écart n’était pas acceptable !

Pendant l’été 1598, le futur empereur Ferdinand II a fait fermer l’école de Graz, Kepler a donc perdu son emploi et est contraint à l’exil. Il rêve d’un poste d’assistant auprès de Tycho Brahe, connu pour être le détenteur des observations astronomiques les plus précises jamais obtenues. Grâce à lui, l’astronomie a atteint la limite des possibilités de l’œil humain. De son côté, à la lecture du Mysterium que lui avait envoyé Kepler, Tycho avait repéré en ce jeune homme le théoricien capable de synthétiser toutes ses données. Tout est donc au mieux dans le meilleur des mondes pour une collaboration fructueuse ! Pas tout à fait…  car il existe un désaccord profond. Kepler est persuadé (comme Copernic) que le Soleil est au centre du monde alors que, pour Tycho, le Soleil tourne autour de la Terre en emmenant les planètes avec lui. De plus, nous avons là deux très fortes personnalités, leur courte relation est connue pour avoir été volcanique.

Le 4 février 1600, les deux hommes se rencontrent, Brahe a 53 ans et Kepler 28, ils ne travailleront ensemble que pendant 18 mois, dont plusieurs que Kepler passera loin de là pour régler des affaires de famille.

Son ouvrage Astronomia Nova est quasi illisible car très technique. Kepler y relate (dans le désordre) ses succès théoriques mais aussi ses échecs. Commencé en février 1600, il ne fut vraiment achevé qu’en juin 1606. Sa nouveauté ? La volonté de calculer le mouvement des astres à partir de ses causes et non à partir de combinaisons de cercles abstraits, comme on le faisait jusque-là. Sans logique interne, les cercles se voyaient attribuer dimensions et vitesses selon les besoins des données d’observation. Pour Kepler, l’astronomie peut / doit devenir une véritable physique céleste, c’est d’ailleurs le sous-titre (révolutionnaire pour l’époque) de son ouvrage. Le système cosmique ne peut pas être qu’une somme de bric et de broc. Si Dieu a créé le monde, il y a nécessairement une logique sous-jacente et Kepler pense en avoir trouvé la trace dans l’hypothèse nouvelle formulée à la fin de son Mysterium Cosmographicum. Une force émane du Soleil afin d’entraîner et conserver les planètes dans leurs mouvements, sa puissance décroit avec la distance !

Les outils théoriques de ce travail

Voici planté notre décor. Voyons maintenant comment Kepler détermina, du vivant de Tycho Brahe, le plan de la trajectoire de Mars. La détermination précise des dimensions de son orbite prendra, elle, plusieurs années.

Lorsqu’il devient membre de l’équipe des assistants de Tycho en février 1600, on confie à Kepler un travail théorique plutôt qu’une tâche d’observation, ceci à cause de sa vue déficiente. Il hérite du défi théorique posé par l’orbite de Mars. C’est la planète, mise à part Mercure (difficile à observer), qui présente la plus grande excentricité : sa trajectoire est à la fois difficile à prévoir (à l’aide de cercles) et la seule dont l’orbite est assez étirée pour amener ses découvertes. La plupart des planètes visibles à l’oeil nu orbitent en effet sur des trajectoires peu elliptiques, quasi-circulaires. Or, dès son arrivée à Benatek, Kepler souhaite rompre avec les épicycles, ces cercles dont les centres tournent sur d’autres cercles (les déférents). Ils permettent de rendre compte (notamment) des rétrogradations des planètes sans qu’elles aient à rebrousser réellement chemin. Redoutablement efficaces, ils permettent aussi de rendre compte du fait que la planète est plus brillante quand elle est au plus proche de la Terre (rétrogradation). Et même qu’elle est moins lumineuse quand elle est au plus loin de notre planète (de l’autre côté du Soleil en représentation héliocentrique).

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L’épicycle est un cercle sur lequel tourne une planète. Le centre de cet épicycle tourne lui aussi sur un cercle, le déférent. Vue du centre du cosmos (la Terre), la planète rebrousse réellement chemin mais seulement parce qu’on combine deux mouvements circulaires qui, chacun, restent directs. Les apparences sont sauvées…

Source de l’image : Wikipedia, auteur CC BY

Kepler pressent pourtant que la réalité doit être à la fois plus simple et plus plausible. physiquement. En effet, les planètes de l’astronomie antique font donc en permanence, en quelques sortes, du grand-huit sur leurs orbites respectives ! Dans l’Astronomia Nova, Kepler insérera cette image bien connue de la trajectoire physique du corps de la planète Mars si celle-ci se déplace dans le système solaire sur un épicycle et un déférent. Il dénonce cette conséquence si dysharmonique des systèmes astronomiques traditionnels. Pour le plaisir, on remarquera que, publiée un an avant que Galilée ne pointe sa lunette vers le ciel, la planète Mars est encore symbolisée par une étoile…

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La trajectoire de Mars à partir du système épicycle – déférent selon les dimensions de l’orbite admises à son époque.

Mais Kepler va tout de même, dans cette première attaque du défi de l’orbite de Mars, conserver une technique de la vieille astronomie ptoléméenne, le point équant. En effet, l’astronomie ancienne fourmille d’hypothèses mathématiques pour tenter de rendre compte des difficiles trajectoires apparentes des planètes, de la Lune et du Soleil. Le point équant d’une planète est un objet purement théorique situé loin de la Terre (considérée alors comme centre du cosmos) à l’opposé du centre du déférent cité précédemment. Depuis ce point équant, le centre de l’épicycle va présenter une vitesse constante, c’est donc une véritable contrainte pour ce point qui ne va plus tourner avec une vitesse réellement constante autour du centre de son déférent mais avec une vitesse angulaire constante vue depuis le point équant !

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Le point équant est (pour Ptolémée) à l’opposé de la Terre par rapport au centre du déférent.

Source : Wikipedia, auteur HB — Travail personnel, CC BY-SA

Des historiens des sciences ont d’ailleurs considéré cette astuce antique comme une forme de tricherie très ingénieuse vis à vis tant de la réalité physique que du dogme du mouvement circulaire uniforme. Elle permet à la fois de conserver l’idée d’une vitesse constante (d’un point de vue angulaire) alors que le centre de l’épicycle accélère et ralentit maintenant sur son cercle.

Mais pourquoi Kepler ne rejette-t-il pas de suite ce point équant plus abstrait encore que les épicycles et déférents ? Paradoxalement, parce qu’il souhaite défendre une approche physique de l’astronomie ! En effet, le point équant permet justement la variation des vitesses par rapport à un point donné. Or, afin de respecter cette contrainte de vitesse angulaire constante par rapport au point équant, une planète doit être plus lente quand elle est proche de lui et plus rapide quand elle en est éloignée. Mais, et c’est là tout l’intérêt, la vitesse de la planète sera au contraire accélérée quand elle passe au plus proche du centre du monde (la Terre, chez Ptolémée, le Soleil chez Kepler) et ralentie quand elle en est au plus loin ! C’est justement ce qu’il a mentionné à la fin du Mysterium : les planètes ont une vitesse d’autant plus lente qu’elles sont loin du Soleil, comme si une force en émanait et décroissait avec la distance. En résumé, le point équant permettrait donc de modéliser indirectement les effets d’une force qui émanerait, quant à elle, du corps d’un astre (chez Kepler : le Soleil pour les planètes, la Terre pour la Lune).

La question du corps du Soleil

Or, nous allons voir que deux problèmes se posent à l’époque de Kepler. Tout d’abord, la Terre est encore au centre du cosmos. Kepler fait donc le pari que le Soleil s’y trouve (ce qui n’est pas tout à fait vrai non plus). Ensuite, un autre problème se pose à propos des calculs des astronomes (Copernic compris) pour déterminer l’orbite de Mars. Pour Kepler, on ne peut pas se référer, comme ils le font, à ce qu’on appelle le Soleil moyen. En effet, le Soleil n’ayant pas une vitesse apparente constante sur la voûte céleste tout au long de l’année, il avait lui aussi son déférent. Pour simplifier les calculs, les observations de Mars étaient toujours interprétées par rapport à la position moyenne du Soleil dans ces systèmes… Copernic compris ! Car si ce dernier plaçait le Soleil au centre du Cosmos, il ne calculait pas les mouvements des planètes par rapport au corps de notre étoile mais par rapport au centre de l’orbe terrestre, lequel n’était pas dans le Soleil !

Or, à son arrivée dans l’équipe de Tycho, Kepler prend aussi la suite de Longomontanus (un autre assistant) parce qu’il vient d’échouer à déterminer l’orbite de Mars à partir des observations astronomiques réalisées quand Mars est en opposition au Soleil par rapport à la Terre (qui se trouve, donc, entre les deux). Or, si on entend par position du Soleil sa position moyenne, et non sa position réelle, on n’obtient pas exactement la même direction, Kepler pressent que cette différence n’est pas négligeable. Mieux, pour deux des oppositions utilisées par Longomontanus à partir des observations de Tycho, l’écart du Soleil moyen au Soleil réel est supérieur à l’incertitude de ses résultats ! Kepler retourne donc ses propres données d’observation contre Tycho et son assistant, montrant que leur utilisation est inexacte ! Fort de ce succès, il obtient plus de liberté pour attaquer le sujet selon ses propres méthodes. Comme il l’explique lui-même :

J’arrivais au début de l’année 1600 avec l’espoir d’apprendre les excentricités véritables des planètes. Et comme je m’aperçus  dès les premiers huit jours que Tycho adoptait avec Ptolémée et Copernic le mouvement moyen du Soleil, et que son mouvement apparent convient beaucoup mieux au contenu de mon livre (il suffit de s’y référer), j’obtins qu’il me laissât utiliser ses observations à ma manière.

Où situer l’intersection de deux plans planétaires ?

Puisque, emportées ou non par des sphères invisibles, les planètes circulent dans l’espace et que leurs trajectoires sont très stables au cours du temps, on peut supposer que chacune se déplace dans un plan fixe. Pour déterminer l’orbite de Mars, Kepler se dit qu’il faut donc commencer par déterminer le plan dans lequel elle s’effectue. Mais pour déterminer ce plan, encore faut-il des points fixes par rapport auxquels se repérer. Dans les anciens systèmes, la Terre fait office de point fixe incontournable puisque centre du monde. Dans le système de Kepler ce n’est plus le cas : elle est en mouvement (autour du Soleil) ! Il faut donc tenir compte aussi du fait qu’elle orbite dans son plan propre. Or, l’intersection de deux plans est une droite, peut-on déterminer l’intersection entre les plans de Mars et de la Terre ? Cela permettrait de mieux repérer leurs mouvements.

En géométrie dans l’espace, il suffit de déterminer deux points appartenant à deux plans pour connaître la seule et unique droite qui passera par ces deux points : l’intersection de ces deux plans.

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L’intersection de deux plans est une droite. Si, par des moyens détournés, on s’assure que les DEUX points A et B appartiennent aux deux plans (P) et (Q) alors on a démontré que la droite (AB) est l’intersection de ces deux plans.

Dans son cosmos copernicien, Kepler devant repérer les mouvements des planètes par rapport à l’astre solaire, le Soleil est donc un premier point qui appartient aux plans de Mars et de la Terre. Il ne reste plus qu’à en déterminer un second. Or, le plan de la Terre est connu : c’est l’écliptique. On peut indirectement le suivre sur le fond des étoiles fixes grâce aux positions occupées jours après jours par le Soleil : on les connait précisément, cette ligne est depuis longtemps le support du zodiaque des signes astrologiques. De plus, les points d’intersection entre l’écliptique et tout plan de la trajectoire d’un astre sont ce qu’on appelle les noeuds. On sait aussi comment les repérer : Mars se trouve en effet dans le plan de la Terre quand on la repère littéralement « sur la ligne écliptique » (celle parcourue par le Soleil). Techniquement, c’est le cas quand sa « latitude écliptique » est nulle, c’est à dire quand l’écart de Mars à cette ligne théorique est égal à zéro. La ligne d’intersection entre les deux plans de la Terre et de Mars passe donc, si l’hypothèse physique de Kepler est juste, à la fois par ces noeuds et le corps du Soleil.

Remarque à propos des illustrations qui viennent : à ce stade de son travail, Kepler travaille encore sur des cercles, il ne démontrera l’existence des ellipses que dans les années suivantes.

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Les plans des orbites de Mars et de la Terre passent à la fois par la ligne des noeuds et le corps du Soleil. Source : Pour la Science, Hors-série N°8, Kepler le musicien du ciel

Quel angle y a-t-il entre ces plans ?

Mais connaître les plans de ces deux planètes ne consiste pas seulement à connaître leur droite d’intersection : une droite est toujours l’intersection d’un plan avec une infinité d’autres. Il faudra donc déterminer aussi l’angle entre ces deux plans. Comment Kepler va-t-il s’y prendre ? Impossible d’aller sur le Soleil pour observer… Et puis l’héliocentrisme restant encore à prouver, les distances en jeux ne sont pas parfaitement connues (ne l’oublions pas, nous qui vivons en ce début de XXIe siècle !).

Dans ces espaces célestes sombres, pour ne pas dire noirs, le seul moment où on estimait jusque-là pouvoir observer la véritable direction où se trouve une planète par rapport au Soleil (par exemple pour des raisons astrologiques…), à partir de notre observatoire terrestre, était celui des oppositions (lorsque la Terre se trouve entre les deux). A minuit exactement, la planète se trouve en effet au plus haut sur le méridien du lieu d’observation et l’alignement des trois corps est idéal. Ils se trouvent tous trois dans un plan orthogonal au plan écliptique. On obtient alors une position de Mars donnée par rapport à la ligne écliptique (latitude), donc par rapport au plan écliptique (celui de la trajectoire du Soleil autour de la Terre). Dans les systèmes géocentriques, l’angle observé devrait donc être précisément celui du plan de Mars avec le plan écliptique. « Devrait » car cette mesure varie à chaque fois que les astronomes la réalisent ! Pour ses prédécesseurs, le plan de Mars n’est donc pas fixe, il oscille.

Pour Kepler, le problème se pose bien sûr différemment, ce pourquoi il peut mettre à jour au moins deux problèmes. Tout d’abord, il ne considère pas que la Terre est au centre du monde. L’angle observé aux oppositions n’est donc pas celui entre les plans des orbites de Mars et de la Terre mais un angle à un moment donné qui dépend en fait des deux positions de la Terre et de Mars sur leurs orbites respectives. Ci-dessous, les angles obtenus seront différents selon que l’on prend les oppositions 5-5 , 6-6 , 7-7, 8-8, etc. L’angle décroit par exemple de 6-6 à 8-8.

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Avec les distances en jeu, les planètes ne sont que des points…

Pour mesurer le bon angle, il faudrait déterminer deux positions à la fois bien choisies et connues de Mars et de la Terre, raisonnement fécond du fait que les nombreuses observations de Tycho Brahe sont à disposition ! Une première idée serait de chercher quand Mars est « au plus haut » dans son plan par rapport à celui de la Terre, sinon qu’il faudrait aussi se trouver sur le Soleil pour observer la latitude ! Kepler va imaginer trois autres solutions géométriques à ce problème (oui, en 1600 l’astronomie est encore purement géométrique). Deux de ces solutions font appel à des calculs trigonométriques appliqués aux triangles (le quotidien de l’astronome avant la révolution scientifique). La troisième est extrêmement simple car elle donne directement l’angle recherché ! C’est celle que l’on va décrire ici. Quand la Terre se situe sur la ligne des noeuds, ce qui se produit deux fois par an, elle est sur la droite d’intersection des deux plans. Mais si Mars est alors en quadrature avec le Soleil, la latitude écliptique observée pour Mars est précisément l’angle entre les deux plans. Autrement dit, si le triangle STM (Soleil-Terre-Mars) est rectangle en T, alors la visée Terre-Mars est parallèle à la visée Soleil-Mars quand Mars est « au plus haut » sur son plan par rapport à l’écliptique.

 

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Grâce à l’angle droit en T, les angles marqués par des points d’interrogation sont les mêmes.

Ce cas de figure est rare mais le nombre d’observations réalisées par Tycho est suffisamment important pour que trois de ses nombreuses observations astronomiques correspondent. Le résultat va être du même ordre, environ 1°50’ ! Kepler peut en conclure que l’angle est invariant entre les eux plans. Victoire ! Il triomphe, et il triomphe même doublement car il vient de démontrer du même coup que le plan de l’orbite de Mars (et donc, écrit-il aussitôt, de toutes les planètes) passe bien, comme il le prévoyait, par le corps même du Soleil et non par le point fictif correspondant à sa position moyenne. Ce n’est pas rien de montrer aussi qu’à la fois Ptolémée, Copernic, et Tycho Brahe se sont trompés. Et que tant d’astronomes ont perdu leur temps à calculer une oscillation d’angle qui n’existait pas entre les plans.

Tout est donc prêt pour tenter d’élaborer la théorie de Mars à la façon que, depuis le Mysterium Cosmographicum, Kepler jugeait le plus plausible : en mettant au cœur du système du monde le Soleil Vrai et en supposant que Mars parcourt son orbite à une vitesse variant avec la distance qui l’en sépare. S’il travaille encore avec des cercles, les ellipses ne sont plus très loin. Dans l’Astronomia Nova, Kepler sera le premier (bien avant Newton) à intégrer une longue réflexion sur des forces qui permettraient de rendre compte à la fois des trajectoires des astres les uns autour des autres (n’oublions pas la Lune et la Terre) et de l’attraction (littérale) des eaux par la Lune.

Si la Terre cessait d’attirer les eaux vers elle, toutes les eaux des mers seraient élevées et couleraient dans le corps de la Lune.

Mais c’est, là, une autre histoire….

Serge Bret-Morel

Bibliographie : ce dossier a été réalisé à partir du travail (ultra-pointu) de l’historien des sciences Gérard Simon Kepler astronome astrologue (chapitres VI-I et VI-II), éditions Gallimard, 1979.
Sur ce thème, on conseillera aussi La révolution astronomique, un peu plus accessible, d’un autre historien des sciences, Alexandre Koyré.
Pour s’initier à ces travaux, on conseillera alors (plus accessible encore) Les Somnambules d’Arthur Koestler.

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